Cálculo diferencial e integral.
- México Limusa 2015
- xiv, 686 páginas; figuras, tablas, gráficos; 23 x 15.5 cm
CAPÍTULO I. Resumen de fórmulas. --Fórmulas de álgebra y geometría elementales. --Fórmulas de trigonometría plana. --Fórmulas de geometría analítica plana --Fórmulas de geometría analítica del espacio --Alfabeto griego. CAPÍTULO II. Variables, funciones y límites. --Variables y constantes --Intervalo de una variable --Variación continua --Funciones --Variables independientes y dependientes --Notación de funciones --La división por cero, excluÍda. --Gráfica de una función: continuidad. --Límite de una variable --Límite de una función --Teoremas sobre límites --Funciones continuas y discontinuas --Infinito --Infinitésimos --Teoremas relativos a infinitésimos y límites. CAPÍTULO III. Derivación. --Introducción --Incrementos --Comparación de incrementos --Derivada de una función de una variable --Símbolos para representar las derivadas --Funciones derivables --Regla general para la derivación --Interpretación geométrica de la derivada. CAPÍTULO IV. Reglas para derivar funciones algebraicas. --Importancia de la regla general --Derivada de una constante --Derivada de una variable con respecto a si misma --Derivada de una suma --Derivada del producto de una constante por una función --Derivada del producto de dos funciones --Derivada del producto de n funciones, siendo n un número fijo. --Derivada de la potencia de una función, siendo el exponente constante --Derivada de un cociente --Derivada de una función de función --Relacióin entre las derivadas de las funciones inversas --Funciones implícitas --Derivación de funciones implícitas. CAPÍTULO V. Aplicaciones de la derivada. --Dirección de una curva --Ecuaciones de la tangente y la normal --Longitudes de la subtangente y la subnormal --Valores máximo y mínimo de una función: introducción. --Funciones crecientes y decrecientes. --Máximos y mínimos de una función: definiciones --Primer método para calcular los máximos y los mínimos de una función. Regla guía en las aplicaciones --Máximos o mínimos cuando f(x) se vuelve infinita y f(x) es continua. --Problemas sobre máximos y mínimos --La derivada como rapidez de variación --Velocidad en un movimiento rectilíneo --Relación entre la rapidez de variación de variables relacionadas. CAPÍTULO VI. Derivadas sucesivas de una función. Aplicaciones. --Definición de las derivadas sucesivas --Obtención de las derivadas sucesivas en funciones implícitas --Sentido de la concavidad de una curva --Segundo método para determinar máximos y mínimos --Puntos de inflexión --Método para construcción de curvas dadas por su ecuación --Aceleración en un movimiento rectilíneo. CAPÍTULO VII. Derivación de funciones trascendentes. Aplicaciones. --Fórmulas de derivación: lista segunda. --El número --Logaritmos naturales --Funciones exponenciales y logarítmicas --Derivación de la función logarítmica --Derivación de la función exponencial general. Demostración de la regla de potencias. --Derivación logarítmica. --Función sen x --Otras funciones trigonométricas. CAPÍTULO VIII. Aplicaciones a las ecuaciones paramétricas y polares y al cálculo de las raíces de una ecuación. --Ecuaciones paramétricas de una curva. Pendiente --Ecuaciones paramétricas. Segunda derivada --Movimiento curvilíneo. Velocidad --Movimiento curvilíneo . Aceleraciones componentes. --Coordenadas polares. Ángulo que forman el radio vector y la tangente. --Longitudes de la subtangente y la subnormal en cordenadas polares --Raíces reales de las ecuaciones. Métodos gráficos --Segundo método para localizar las raíces reales. --Método de Newton. CAPÍTULO IX. Diferenciales. --Introducción --Definiciones --La diferencial como aproximación del incremento --Errores pequeños --Fórmulas para hallar las diferenciales de funciones --Diferencial del arco en coordenadas cartesianas rectangulares --Diferencial del arco en coordenadas polares --La velocidad como rapidez de variación de la longitud del arco con respecto al tiempo. --Las diferenciales como infinitésimos --Ordenes de infiinitésimos --Diferenciales de orden superior CAPÍTULO X. Curvatura. Radio de curvatura. Circuito de curvatura. --Curvatura --Curvatura de la circunferencia --Fórmulas para la curvatura (coordenadas rectangulares) --Fórmula especial para las ecuaciones paramétricas --Fórmula para la curvatura (coordenadas polares) --Radio de curvatura --Curvas de ferrocarril; curvas de transición --Círculo de curvatura --Centro de curvatura --Evolutas --Propiedades de la evoluta --Las envolventes y su construcción mecánica --Transformación de derivadas. CAPÍTULO XI. Teorema del valor medio y sus aplicaciones. --Teorema de Rolle --Círculo osculador --Punto límite de la intersección de dos normales infínitamente próximas --Teorema del valor medio --Formas indeterminadas --Determinación del valor de una función cuando ésta toma una forma indeterminada. --Determinación del valor de la forma indeterminada. CAPÍTULO XII. Integración de formas elementales ordinarias. --Integración--Constante de integración-- Integral indefinida--Reglas para integrar laas formas elementales ordinarias--Demostración de las fórmulas--Integración de diferenciales trigonométricas--Integración por sustitución trigonométrica. CAPÍTULO XIII. Constante de integración. --Determinación de la constante de integración por medio de condiciones iniciales--Significado geométrico--Significado físico de la constante de integración. CAPÍTULO XIV. Integral definida. --Diferencial del área bajo una curva--La integral definida--Cálculo de una integral definida--Cambio de límites correspondientes a un cambio de la variable--Cálculo de áreas--Cálculo del área cuando las ecuaciones de la curva se dan en forma paramétrica--Representación geométrica de una integral--Integración aproximada. Fórmula de los trapecios--Fórmula de Simpson (fórmula parabólica)--Intercambio de límites--Descomposición del intervalo de integración en una integral definida--La integral definida es una función de sus límites--Integrales impropias. Límites infinitos--Integrales impropias. CAPÍTULO XV. La integración como suma. --Introducción--Teorema fundamental del cálculointegral--Demostración analítica del teorema fundamental--Áreas de superficie limitadas por curvas planas; coordenadas rectangulares--Áreas de curvas planas; coordenadas polares--Volúmenes de sólidos de revolución--Longitud de un arco de curva--Longitudes de arcos de curvas planas; coordenadas rectangulares--Longitudes de arcos de curvas planas; coordenadas polares--Áreas de superficies de revolución--Sólidos cuyas secciones transversales se conocen. CAPÍTULO XVI. Artificios de integración. --Introducción--Integración de fracciones racionales--Integración por sustitución de una nueva variable; racionalización--Diferenciales binomias--Condiciones de racionalización de la diferencial binomia--Transformación de las diferenciales trigonométricas--Sustituciones diversas. CAPÍTULO XVII. Fórmulas de reducción. --Introducción--Fórmulas de reducción para las diferenciales binomias--Fórmulas de reducción para las diferenciales trigonométricas--Empleo de una tabla de integrales. CAPÍTULO XVIII. Centros de gravedad. Presión de líquidos. Trabajo. Valor medio. --Momento de superficie; centro de gravedad--Centro de gravedad de un sólido de revolución--Presión de líquidos--Trabajo--Valor medio de una función. CAPÍTULO XIX. Series. --Definiciones--La serie geométrica--Series convergentes y divergentes--Teoremas generales--Criterios de comparación--Criterio de D`Alembert--Series alternadas--Convergencia absoluta--Resumen--Series de potencia--La serie binómica--Otro tipo de serie de potencia. CAPÍTULO XX. Desarrollo de funciones en serie de potencia. --Serie de Maclaurin--Operaciones con series infinitas--Derivación e integración de series de potencias--Deducción de fórmulas aproximadas de la serie Maclaurin--Serie de Taylor--Otra forma de la serie de Taylor--Fórmulas aproximadas deducidas de la serie de Taylor. CAPÍTULO XXI. Ecuaciones diferenciales ordinarias. --Ecuaciones diferenciales: orden y grado--Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración--Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales--Ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado--Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior--Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes--Aplicaciones. Ley de interés compuesto--Aplicaciones a problemas de mecánica--Ecuaciones diferenciales lineales de enésimo orden con coeficientes constantes. CAPÍTULO XXII. Funciones hiperbólicas. --Seno y coseno hiperbólicos--Otras funciones hiperbólicas--Tabla de valores de senos, cosenos y tangentes hiperbólicos. Gráficas--Funciones hiperbólicas de v y w--Derivadas--Relaciones con la hipérbola equilátera--Funciones hiperbólicas inversas--Derivadas (continuación)--Línea telefráfica--Integrales--Integrales (continuación)--El gudermaniano--Carta de Mercator--Relaciones entre las funciones trigonométricas y las hiperbólicas. CAPÍTULO XXIII. Derivadas parciales. --Funciones de dos o más variables. Continuidad--Derivadas parciales--Interpretación geométrica de las derivadas parciales--Diferencial total--Valor aproximado del incremento total.Errores pequeños--Derivadas totales. Razones de variación--Cambio de variables--Derivación de funciones implicitas--Derivadas de orden superior. CAPÍTULO XXIV. Aplicaciones de las derivadas parciales. --Envolvente de una familia de curvas--La evoluta de una curva dada considerada como la envolvente de sus normales--Ecuaciones de la tangente y del plano normala una curva alabeada--Longitud de un arco de curva alabeada--Ecuaciones de la normal y del plano tangente a una superficie--Interpretación geométrica de la diferencial total--Otra forma de las ecuaciones de la tangente y el plano normal a una curva alabeada--Teorema del valor medio--Máximos y mínimos de funciones de varias variables--Teorema de Taylor para funciones de dos o más variables. CAPÍTULO XXV. Integrales múltiples. --Integración parcial y sucesiva--Integral doble definida. Interpretación geométrica--Valor de una integral doble definida extendida a una región--Área de una superficie plana como integral doble definida--Volumen bajo una superficie--Instrucciones para establecer, en la práctica, una integral doble--Momento de una superficie y centros de gravedad--Teorema de Pappus--Centro de presión de líquidos--Momento de inercia de una superficie--Momento polar de inercia--Coordenadas polares. Área plana. CAPÍTULO XXVI . Curvas importantes. --Parábola cúbica, parábola semicúbica, la bruja de Agnesi, cisoide de Diocles--Lemniscata de Bernoulli--concoide de Nicomedes--cicloide ordinaria, cicloide con vértice en el orígen, catenaria, parábola--Astroide evoluta de la elipse. CAPÍTULO XXVII. Tabla de integrales.
9789681811785
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